Kategorie: Theorie

Zahl auf Zweierpotenz prüfen 👍 👎

Für manche Algorithmen bestehen Optimierungsansätze, wenn eine zu untersuchende Zahl eine Zweierpotenz ist. Daher möchte ich mit diesem Beitrag aufzeigen, wie sich diese Problemstellung möglichst effizient lösen lässt.

Naive Ansätze arbeiten mit Schleifen und prüfen schrittweise alle in Frage kommenden Zweierpotenzen – es ist leicht einzusehen, dass dieses Vorgehen insbesondere für größere Zahlen eher mäßig effizient ist. Alternativ könnte man auf die Idee kommen, das Problem mit Logarithmen zu lösen – hier kann es jedoch zu Rundungsproblemen kommen. Wir sollten uns daher die Struktur entsprechender Zahlen einmal genauer ansehen:
Zweierpotenzen
010203040506
                  Dualzahl     Dezimalzahl--------------------------------------------       20               1            1       21              10            2       22             100            4       23            1000            8
Offensichtlich ist bei einer Zweierpotenz 2n demnach das (n + 1)-te Bit auf 1 gesetzt und alle ggf. nachfolgenden Stellen besitzen den Wert 0 – was kaum eine Überraschung darstellen sollte. Wir müssen nun jedoch nicht jedes Bit einzeln prüfen, ob die Zahl auf dieses "Muster" passt, sondern können uns das Bitmuster der Zahl 2n – 1 zu Nutze machen:
Voränger von Zweierpotenzen
010203040506
                  Dualzahl     2n – 1 (dual)--------------------------------------------       20               1            0       21              10           01       22             100          011       23            1000         0111
Wie selbstverständlich zu erwarten war, muss der Vorgänger ein inverses Bitmuster besitzen. Dies hilft uns insofern weiter, als dass wir diese beiden Zahlen mit einem bitweisen UND verknüpfen und auf Gleichheit mit 0 prüfen können, was bei Zweierpotenzen zutreffen muss.

In C# könnte die Implementierung beispielsweise wie folgt aussehen:
Zahl auf Zweierpotenz prüfen (Basis)
010203
public static bool IsPowerOfTwo(uint number) {    return ((number & (number – 1)) == 0);}
Dieses Vorgehen liefert jedoch auch für die Zahl 0 den Wert true zurück. Wir prüfen diesen Fall daher separat:
Zahl auf Zweierpotenz prüfen (Erweiterung)
01020304050607
public static bool IsPowerOfTwo(uint number) {    return (        (number != 0)          &&        ((number & (number – 1)) == 0)    );}

Zahl ohne Konvertierung umdrehen 👍 👎

Passend zu einem etwas älteren Beitrag zur Ermittlung der Anzahl der Ziffern einer Zahl soll es noch einmal darum gehen, ein Problem mathematisch zu lösen, statt den Umweg über Zeichenketten zu gehen. Konkret möchten wir eine Zahl schlicht "umdrehen". Im Prinzip soweit natürlich kein Problem:
Zahl umdrehen (mit Konvertierung)
010203
int number = 12345;
int numberReverse = Int32.Parse(String.Concat(number.ToString().Reverse())); // 54321
Wir konvertieren die Zahl hierbei zuerst zu einer Zeichenkette, drehen die Zeichen anschließend um und fügen sie zusammen, um sie letztlich wieder zu einer Zahl zu konvertieren.

Das funktioniert – zumindest bei nicht-negativen Zahlen – soweit auch einwandfrei und kann je nach Kontext auch die schnellste Variante sein, jedoch lässt sich das Problem auch rein rechnerisch lösen:
Zahl umdrehen (ohne Konvertierung)
010203040506070809
int number = 12345;
int numberReverse = 0;while(number != 0) { numberReverse *= 10; numberReverse += (number % 10);
number /= 10;} // "numberReverse" enthält nun (ebenfalls) 54321
Wir nutzen dabei aus, dass uns der Modulo-Operator (%) jeweils den Rest einer ganzzahligen Division liefert, welchen wir als neue Ziffer der Lösung verwenden und anschließend die gegebene Zahl um eben diesen Anteil verringern. Als netter "Nebeneffekt" funktioniert diese Vorgehensweise auch bei negativen Zahlen problemlos.

Anzahl der Ziffern einer Zahl ermitteln 👍 👎

Oftmals sehe ich zur Ermittlung der Anzahl der Ziffern einer Zahl, dass diese explizit in eine Zeichenkette konvertiert und anschließend mit Zeichenketten-Operationen bearbeitet wird. Unter sehr dynamischen Sprachen wie beispielsweise PHP wird einem dies besonders einfach gemacht.

Das funktioniert zwar zweifelsohne und kann je nach Kontext auch der schnellste Weg sein, mathematisch elegant ist das aber nicht und darum möchte ich zumindest der Vollständigkeit wegen gerne aufzeigen, wie sich dieses Problem rein rechnerisch lösen lässt.

Dazu erinnern wir uns zuerst einmal an den Begriff der Größenordnung, welche eine Zahl zu gegebener Basis (im Alltag also meistens die 10, bei Informatikern evtl. auch noch 2, 8 oder 16 Smiley: winking) um eben diesen Faktor erhöht. Anschaulicher lässt sich dies als Potenz vorstellen, bei der der Exponent inkrementiert wird. Da dabei praktisch im jeweiligen Stellenwertsystem auch die Anzahl der Ziffern der jeweiligen Zahl steigt, fällt dem geneigten Leser möglicherweise bereits ein Zusammenhang auf. Zuerst einmal wollen wir die bisherigen Kenntnisse jedoch der Übersicht wegen formal notieren:
Größenordnungen
0102030405060708091011
   1 = 100    // eine Stelle   5 = 100,69  // eine Stelle  10 = 101    // zwei Stellen  15 = 101,17  // zwei Stellen 100 = 102    // drei Stellen 999 = 102,99  // drei Stellen1000 = 103    // vier Stellen1234 = 103,09  // vier Stellen
Es besteht offensichtlich ein Zusammenhang zum Exponenten der Basis des Zahlensystems, wie groß diese Zahl ist – was ja auch völlig klar so sein muss und letztlich keine besondere Erkenntnis ist. Genau diese Rückbesinnung auf Bekanntes bringt uns jedoch zur Lösung des Problems: Wir müssen zu unserer gegebenen Zahl den Exponenten zur Basis des gegebenen Zahlensystems suchen, wodurch unsere Zahl erzeugt wird.

Mit gewissem Entsetzen denken nun vielleicht die ersten Leser spontan an Wurzeln (und nebenbei an ihre letzte Wurzelbehandlung Smiley: grinning), aber es ist "noch schlimmer": Da uns Wurzeln die Basis liefern, wir jedoch den Exponenten benötigen und das Kommutativgesetz bei Potenzen im Allgemeinen nicht gilt (d. h. ab ≠ ba), benötigen wir die zweite Umkehroperation – den Logarithmus.

Dieser löst uns die Gleichung 10x = Zahl nach x auf und damit haben wir bereits beinahe die Lösung unserer eigentlichen Fragestellung. Da der Exponent auch Dezimalstellen enthalten kann, die Anzahl der Ziffern jedoch in jedem Fall eine natürliche Zahl sein muss, runden wir das Ergebnis erst einmal pauschal ab. Da die Zählung des Exponenten nun auch noch bei 0 beginnt (was uns als Softwareentwickler aber nur mäßig schockieren dürfte Smiley: cool), korrigieren wir diesen Versatz durch Addition von 1 und erhalten folgende Lösung:

Anzahl der Ziffern einer Zahl (im Dezimalsystem) = ⌊log10 Zahl⌋ + 1

Natürlich lässt sich dies auch in Programmen sehr einfach verwenden, daher wollen wir eine Erweiterungsmethode für ganze Zahlen in C# schreiben, die uns die Anzahl der Ziffern liefert:
Anzahl der Ziffern einer Zahl (Implementierung in C#)
010203040506070809
public static int GetDigitCount(this int number) {    if(number != 0) {        double baseExp = Math.Log10(Math.Abs(number));
return Convert.ToInt32(Math.Floor(baseExp) + 1); } else { return 1; }}
Wir berücksichtigen dabei die 0 separat und beugen außerdem Problemen mit negativen Zahlen durch Verwendung der Betragsfunktion vor. Die Anwendung gestaltet sich nun denkbar einfach:
Anzahl der Ziffern einer Zahl (Verwendung der C#-Implementierung)
01020304
int digitCount = (1).GetDigitCount();     // 1int digitCount = (12).GetDigitCount();    // 2int digitCount = (123).GetDigitCount();   // 3int digitCount = (1234).GetDigitCount();  // 4
Natürlich wäre auch die Implementierung in Form einer Schleife, welche die Zahl fortlaufend durch die Basis (10) teilt, denkbar, um die Anzahl der Ziffern zu ermitteln. Aber das sei dem geneigten Leser zur Übung überlassen. Smiley: tongue_out

Notation formaler Ausdrücke 👍 👎

a + b ist ein Term, wobei a und b als Summanden bezeichnet werden. Das sollte soweit jedem Leser dieses Blogs klar sein – mit Grundschulmathematik soll es nun aber gar nicht weitergehen, wir benötigen nur eine gemeinsame Grundlage für den weiteren Teil des Artikels. Smiley: grinning

Einen Bestandteil haben wir bisher jedoch gar nicht näher betrachtet: Das beinahe selbstverständliche Symbol der Addition, das +. Dabei ist das gar nicht so uninteressant. Was genau ist das eigentlich? Nun, auf jeden Fall wird es als Operator bezeichnet. Diese Schreibweise ist uns so vertraut, dass sich die meisten bisher wahrscheinlich gar keine Gedanken zu den Hintergründen einer solchen Schreibweise gemacht haben – und wir auch andere ganz selbstverständlich verwenden.

Tatsächlich handelt es sich nämlich um den in sogenannter Infixnotation geschriebenen Aufruf der Funktion +(a,b); der Name der Funktion lautet also + und Funktionen dieser Darstellung werden üblicherweise in Präfixnotation geschrieben. Dies ist einem aus der Mathematik bei Funktionen wie sin und cos geläufig und selbstverständlich auch als Entwickler der meisten Programmiersprachen und sogar bei Konsoleneingaben.

Präfixnotation findet in der Mathematik meist bei unären Operationen Anwendung, wohingegen bei binären Operationen für gewöhnlich die Infixnotation zum Einsatz kommt. Mehrstellige Operationen werden (auch) in einfacher Funktionsschreibweise notiert.

Bei in Infixnotation geschriebenen Ausdrücken ist unbedingt die Operatorpräzedenz (und ggf. Operatorassoziativität) zu berücksichtigen. Dazu gehört auch der den meisten Lesern sicherlich bekannte Spruch "Punkt vor Strich": Manche Operationen müssen vor anderen ausgewertet werden, um das Ergebnis eindeutig zu halten; im Allgemeinen gilt beispielsweise:

(a + b) * c  ≠  a + (b * c)

Wie dadurch bereits ersichtlich und hoffentlich bekannt, lässt sich eine bestimmte Rangfolge mit Klammerung auch erzwingen. Üblicherweise gilt ohne nähere Spezifikation folgende Rangfolge bei einfachen Rechnungen:
  1. Klammerung
  2. Potenzierung
  3. Multiplikation, Division ("Punktrechnung")
  4. Addition, Subtraktion ("Strichrechnung")
Auch Programmiersprachen (z. B. C#, PHP) besitzen eine solche Rangfolge und unterscheiden sich teilweise.

Um aber noch einmal auf unsere Feststellung der unterschiedlichen Schreibweisen einzugehen: Tatsächlich ist dieses Problem nämlich der Infixnotation geschuldet; Präfixnotation (im Übrigen auch die umgekehrte Variante, die Postfixnotation) kann nämlich klammerfrei erfolgen und ist ganz einfach – wenn auch für die meisten sicherlich eher etwas ungewohnt – auf unser Beispiel der Addition übertragbar:
Addition mit Symbol und Präfixnotation
01
+ a b
Auch "komplexere" (na ja …) Anwendungen stellen kein Problem dar:
Vergleich von Infix- und Präfixnotation
0102030405
  // Infixnotation(a + b) * (c – d)
// Präfixnotation* + a b – c d
Wie man sieht, können hier die Klammern entfallen und man erhält dennoch das erwartete Ergebnis. Diese Darstellungsform vereinfacht im Übrigen das automatisierte Verarbeiten erheblich.

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