Mathematik-Brückenkurs an der FU Berlin (1/2) 👍 👎

Im Folgenden der Ablauf der ersten Woche des Mathematik-Brückenkurses an der FU Berlin im WS14/15:

Montag

Elementare Logik

Wir haben den Begriff der mathematischen Aussage als sinnvolles sprachliches Gebilde definiert, welches entweder wahr oder falsch sein kann. Es handelt sich in diesem Sinne um eine zweiwertige Logik.

  • Junktoren

    Wir haben grundlegende logische Verknüpfungen eingeführt. Konkret handelt es sich um die Verknüpfungen Negation (NOT), Konjunktion (UND), Disjunktion (ODER – einschließend), Kontravalenz (ODER – ausschließend), Implikation (mit Prämisse als Voraussetzung und Konklusion als Folgerung) und Äquivalenz (Gleichwertigkeit). Die Definition erfolgte jeweils über Wahrheitstafeln. Wir haben darüber hinaus zusammengesetzte Aussagen aus den zuvor genannten Verknüpfungen betrachtet und dazu eine entsprechende Operatorpräzedenz vereinbart.

  • Tautologien

    Wir haben uns zusammengesetzte Aussagen, die unabhängig von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen wahr sind und entsprechend allgemeingültig genannt werden, angesehen. Dazu gehören – neben einigen anderen – insbesondere das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, die De Morganschen Gesetze, die doppelte Negation und die Kontraposition.

Dienstag

Beweisprinzipien

Wir haben die Vereinbarungen getroffen, dass ein mathematischer Satz eine wahre Aussage ist und mit einem Beweis der Nachweis dieser Wahrheit geführt wird.

  • Abtrennungsregel

    Sind Prämisse und Implikation jeweils wahre Aussagen, dann ist auch die Konklusion eine wahre Aussage. Sofern die Prämisse nicht wahr ist, ist dieser Schluss nicht zulässig (aus Falschem folgt Beliebiges).

  • Direkter Beweis

    In diesem Fall wird ausgehend von einer wahren Aussage eine Folge wahrer Implikationen ermittelt, so dass die sukzessive Anwendung der Abtrennungsregel die Wahrheit der Aussage bestätigt.

  • Indirekter Beweis

    Man nimmt das Gegenteil der eigentlichen Aussage an und leitet daraus einen Widerspruch her.

Quantoren

Wir haben Quantoren – als Aussageform mit einer Variablen und einem Objektbereich – betrachtet.

  • Allaussage

    Mit einer Allaussage wird die Aussage getroffen, dass eine Aussage für alle Elemente des Objektbereiches wahr ist.

  • Existenzaussage

    Mit einer Existenzaussage wird die Aussage getroffen, dass eine Aussage für mindestens ein Element des Objektbereiches wahr ist.

Mittwoch

Mengenlehre

Wir haben Mengen als eine Zusammenfassung bestimmter Objekte zu einem Ganzen eingeführt, wobei die einzelnen Objekte als Elemente bezeichnet werden. Eine Menge ist durch die Angabe ihrer Elemente (z. B. durch Aufzählung) eindeutig bestimmt; auf die Reihenfolge kommt es dabei nicht an.

  • Gleichheit

    Zwei Mengen sind dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

  • Leere Menge

    Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält und eindeutig bestimmt.

  • Zahlbereiche

    Wir haben u. a. die Menge der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen betrachtet.

  • Teilmengen

    Eine Menge ist Teilmenge einer anderen Menge, wenn alle Elemente dieser ersten Menge in der anderen Menge enthalten sind.

Donnerstag

Mengenlehre
  • Operationen

    Wir haben den Durchschnitt, die Vereinigung und die Differenz von Mengen betrachtet. Zur Illustration dienten uns hierbei zusätzlich Venn-Diagramme.

Freitag

Abbildungen

Eine Abbildung ordnet jedem Element einer Menge (Definitionsbereich) genau ein Element einer Menge (Wertebereich) zu. Sofern der Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen darstellt, spricht man auch von einer Funktion.

  • Gleichheit

    Zwei Abbildungen sind gleich, wenn ihr Definitionsbereich, der Wertebereich und die jeweiligen Funktionswerte an jeder Stelle übereinstimmen.

  • Identische Abbildung

    Die identische Abbildung ordnet jedes Element des Definitionsbereichs sich selbst zu. Definitions- und Wertebereich stimmen entsprechend überein.

  • Konstante Abbildung

    Die konstante Abbildung ordnet jedem Element des Definitionsbereichs ein festes Element zu.

  • Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

    Eine injektive Abbildung ordnet jedem Element aus dem Definitionsbereich ein verschiedenes Element aus dem Wertebereich zu. Eine surjektive Abbildung hat die Eigenschaft, dass jedes Element aus dem Wertebereich mindestens einmal auftritt. Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

  • Komposition

    Unter der Komposition versteht man die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen. Die Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ, jedoch assoziativ.

  • Umkehrabbbildung

    Die Umkehrabbildung ordnet jedem Wert einer Abbildung den ursprünglichen Wert zu. Die Komposition dieser beiden Abbildungen ergibt somit die identische Abbildung des Definitions- bzw. Wertebereichs. Die Umkehrabbildung existiert, falls die Abbildung bijektiv ist und ist dann eindeutig bestimmt.

Jeder Vorlesung schloss sich eine Übung an. Dort können Fragen zum Inhalt der Vorlesung gestellt und Aufgaben – insbesondere das Beweisen – zusammen mit anderen Teilnehmern und dem Tutor bearbeitet werden.




Dieser Eintrag ist Bestandteil einer Beitragsserie:


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